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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1335: Hessematrix einer impliziten Funktion und Gültigkeit einer partiellen Differentialgleichung

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Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x_1,x_2,y)=x_1 x_2+(1+x_2)y + y^3\,. $

a)
Zeigen Sie, dass $ f(x_1,x_2,y)=0$ im Punkt $ (0,0,0)$ lokal nach $ y=g(x_1,x_2)$ auflösbar ist.
b)
Zeigen Sie, dass $ g$ zweimal stetig differenzierbar ist. Bestimmen Sie $ g'(0,0)$ und die Hessematrix $ H_g(0,0)$ .
c)
Zeigen Sie, dass $ g$ der partiellen Differentialgleichung $ (1+6gg_{x_2})g_{x_1}+(1+x_2+3g^2)g_{x_1x_2}=0$ genügt.

3. Sei $ f$ die aufzulösende Funktion. Mit der Kettenregel ergibt sich $ 0=f_x+f_yg'$ . Schreibe dies komponentenweise und leite dann nochmals ab mit Hilfe der Kettenregel. Liest man dieses Ergebnis dann in der zweiten Komponente, so erhält man die behauptete Differentialgleichung.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006