Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1337: Länge einer Kardioide

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1337: Länge einer Kardioide

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Die Kardioide ist in Polarkoordinaten gegeben durch die Gleichung $r=1+\cos\varphi$ , wobei der Abstand vom Nullpunkt ist, und $\varphi$ den Winkel mit der -Achse angibt.

Man bestimme eine Parameterdarstellung der Kardioide und ihre Länge.

Der Punkt mit den Polarkoordinaten und $\varphi$ hat die Koordinaten $(r\cos\varphi,r\sin\varphi)^\mathrm{t}$ . Also ist eine Parameterdarstellung der Kardioide gegeben durch

$\displaystyle \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2\;,\;\; \gamma(t) \;=\; \left((1+\cos t)\cos t,(1+\cos t)\sin t\right)^\mathrm{t}\;.$

Demnach berechnet sich die Länge der Kardioide zu

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \ell(\gamma) &=& \displaystyle\int_0^{2\p... ...cos\frac{t}{2}]_0^{2\pi} \vspace*{2mm}\\ &=& 8 \;. \end{array}\end{displaymath}$

Skizze der Kardioide, auch Herzkurve genannt.

$\includegraphics[width = 8cm]{s1.eps}$

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

[Zurück zur Aufgabe]

automatisch erstellt am 11. 8. 2006