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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1340: Kurvenintegral und konservatives Vektorfeld

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ definiert durch $ f(x):=\log(1+\Vert x\Vert^2)x$ .

  1. Ist das Vektorfeld $ f$ konservativ?
  2. Für $ x\in\mathbb{R}^3$ sei $ \gamma_x$ die Verbindungsstrecke von 0 nach $ x$ . Bestimme $ \displaystyle\int_{\gamma_x}f$ .
  3. Besitzt $ f$ eine Stammfunktion? Bestimme gegebenenfalls eine solche.

  1. Es gilt

    $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) \;=\; \left(x_1\log(1+x_1^2+x_2^2+x_3^2),\; x_2\log(1+x_1^2+x_2^2+x_3^2),\; x_3\log(1+x_1^2+x_2^2+x_3^2) \right)^\mathrm{t}\;. $

    Also folgt

    $\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \;=\; \dfrac{2x_1x_2}{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2} \;=\; \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}\;, $

    und aus Symmetriegründen folgen $ \dfrac{\partial f_1}{\partial x_3}=\dfrac{\partial f_3}{\partial x_1}$ und $ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}=\dfrac{\partial f_3}{\partial x_2}$ . Also erfüllt $ f$ die Integrabilitätsbedingungen auf $ \mathbb{R}^3$ . Nach dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegrale ist das Vektorfeld $ f$ mithin konservativ, da das Gebiet $ \mathbb{R}^3$ sternförmig ist.

  2. Eine Parametrisierung von $ \gamma_x$ lautet

    $\displaystyle \gamma_x:[0,1]\to\mathbb{R}^3,\; \gamma_x(t)=tx\;. $

    Also gilt $ \dot{\gamma_x}(t)=x$ für alle $ t\in[0,1]$ . Mit der Substitution $ u=1+t^2\Vert x\Vert^2$ wird

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\gamma_x} f &=& \displ... ...g(1+\Vert x\Vert^2)-\dfrac{1}{2}\;\Vert x\Vert^2\;. \end{array}\end{displaymath}

  3. Nach Aufgabenteil 1. besitzt das Vektorfeld $ f$ eine Stammfunktion $ F$ . Wir können o.E. $ F(0)=0$ annehmen, da die Subtraktion einer Konstanten nichts an der Ableitung ändert. Mit dem ersten Hauptsatz für Kurvenintegrale und Aufgabenteil 2. folgt dann

    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\;(1+\Vert x\Vert^2)\log(1+\Vert x\Vert^2)-\dfrac{1}{2}\;\Vert x\Vert^2 \;=\; \displaystyle\int_{\gamma_x}f \;=\; F(x)-F(0) \;=\; F(x) $

    für alle $ x\in\mathbb{R}^3$ . Somit ist

    $\displaystyle F(x) \;=\; \dfrac{1}{2}\;(1+\Vert x\Vert^2)\log(1+\Vert x\Vert^2)-\dfrac{1}{2}\;\Vert x\Vert^2 $

    eine Stammfunktion von $ f$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006