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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1342: Möndchen des Hippokrates

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Sei $ r > 0$ . Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Möndchen des Hippokrates

$\displaystyle M:\quad x^2+y^2 \leq r^2\,,\quad (x+r)^2 + y^2 \geq 2r^2\,. $

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Hippokratesmoendchen.eps}

Betrachte zunächst einen $ y$ -Schnitt $ M^y$ von $ M$ , und bestimme $ M'=\bigcup\limits_{y\in\mathbb{R}} M^y$ . Verwende nun den Satz von Fubini, um das Volumen von $ M$ zu bestimmen. Die dabei auftretenden Integrale kann man mittels partieller Integration und der Kenntnis von

$\displaystyle \int (1-t^2)^{1/2}\,\mathrm{d} t \;=\; \frac{1}{2}\left( t(1-t^2)^{1/2} + \arcsin t\right) $

bestimmen.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006