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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1343: Vivianischer Körper

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Sei $ a > 0$ . Bestimmen Sie das Volumen des Vivianischen Körpers

$\displaystyle M:\quad x^2+y^2+z^2 \leq 4a^2,\quad x^2 + y^2 \leq 2ax\,. $

$ M$ sei der Schnitt des vollen Zylinders mit der vollen Kugel.
Skizze für $ a = 1$ .

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{viviani.eps}

Es sei

$\displaystyle M' \; :=\; \{ (x,y)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^2 \; \vert\; x^2+y^2 \leq 2ax,\; x^2+y^2\leq4a^2 \}. $

Mit dem Satz von Fubini erhalten wir somit zunächst

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(M) & = & \displaystyle \int... ...\int_{M'} \sqrt{4a^2-x^2-y^2} \, \mathrm{d}(x,y). \end{array}\end{displaymath}

Wir betrachten nun die Polarkoordinatentransformation

$\displaystyle g(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r \cos \varphi\\ r \sin \varphi \end{pmatrix}. $

Wir erhalten damit als Integrationsbereich

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} r^2 & \leq & 2 a r \cos \varphi,\vspace{3mm}\\ r^2 & \leq & 4a^2. \end{array}\end{displaymath}

Es sei zunächst $ r>0$ . Lösen wir die beiden obigen Ungleichungen nach $ r$ auf, so sehen wir, daß die zweite Ungleichung stets erfüllt ist, sofern nur die erste gilt. Nun bemerken wir, daß diese Beobachtung trivialerweise auch für $ r=0$ zutrifft. Wir können die zweite Ungleichung also in unseren weiteren Betrachtungen vernachlässigen und erhalten mit der Achsensymmetrie des Cosinus

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(M) & = & \displaystyle 2 \i... ...{3} a^3 \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3}\right). \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006