Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1347: Eigenschaften von Divergenz und Rotation

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es seien $ G\subseteq\mathbb{R}^3$ ein Gebiet, $ f:G\to\mathbb{R}$ eine stetig differenzierbare skalare Funktion und $ g:G\to\mathbb{R}^3$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Zeige.
  1. $ \mathrm{div}(fg)=(\nabla f)^\mathrm{t}g+f\cdot\mathrm{div }g$ .
  2. $ \mathrm{rot}(fg)=f\cdot\mathrm{rot }g+(\nabla f)\times g$ .

Wir schreiben $ g=(g_1,g_2,g_3)^\mathrm{t}$ .

  1. Es wird unter Verwendung der (eindimensionalen) Produktregel

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{div}(fg) &=& \dfrac{\partial(fg_1... ... &=& (\nabla f)^\mathrm{t}g+f\cdot\mathrm{div }g\;. \end{array}\end{displaymath}

  2. Es wird unter Verwendung der (eindimensionalen) Produktregel

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{rot}(fg) &=& \begin{pmatrix}\dfra... ...}\\ &=& f\cdot\mathrm{rot g}+(\nabla f)\times g\;. \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006