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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1348: Greenscher Integralsatz


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es sei $ S:=\{(x,y)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2 \,\vert\,x^2+y^2\leq 1\}\ $ , und $ \partial S$ bezeichne den positiv orientierten Rand von $ S$ .

Berechne sowohl direkt als auch über den Greenschen Integralsatz

$\displaystyle \int_{\partial S}(x^2-y^2)\;\mathrm{d}x+(x-y)\;\mathrm{d}y\;.
$


Mit dem Greenschen Integralsatz und Polarkoordinatentransformation erhalten wir sofort

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int_{\partial S}(x^2-y^2)\;...
...splaystyle 2\pi\int_0^1 r\ \mathrm{d}r \;=\; \pi\ .
\end{array}\end{displaymath}

Um direkt rechnen zu können, parametrisieren wir $ \partial S=\left\{(x,y)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^2\vert\;x^2+y^2=1\right\}$ durch

$\displaystyle [-\pi,\pi]\to\mathbb{R}^2,\;
\varphi\mapsto \begin{pmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi\end{pmatrix}\;,
$

und berechnen das Kurvenintegral

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int_{\partial S}(x^2-y^2)\;...
...phi)\right]_{-\pi}^\pi\vspace{3mm}\\
& = & \pi\; .
\end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006