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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1350: Zwei Oberflächenintegrale


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei das Vektorfeld $ v:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ , $ v(x,y,z)=(-y,x,x+y+z)^\mathrm{t}$ .

Bezeichne $ \Phi$ eine Fläche, deren Träger durch

$\displaystyle \{ (x,y,z)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; z + x^2 + y^2 = 1\; , z\ge 0\}
$

gegeben ist.

Bezeichne $ \Psi$ eine Fläche, deren Träger durch

$\displaystyle \{ (x,y,z)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x^2 + y^2 \le 1\; , z = 0\}
$

gegeben ist.

Skizze des Trägers von $ \Phi$ .

\includegraphics[width = 8cm]{p4.eps}

Die Parametrisierung sei dabei so gewählt, daß der zugehörige Normalenvektor jeweils stets nicht nach unten zeige.

Berechne die Oberflächenintegrale $ \int_\Phi \mathrm{rot }v$ und $ \int_\Psi \mathrm{rot }v$ sowohl direkt als auch mit dem Stokesschen Integralsatz.


Verwende die Parametrisierungen

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\Phi(r,\varphi) & = & \begin{pmatrix}r\co...
...pmatrix}r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\ 0\end{pmatrix}\end{array}\end{displaymath}

mit jeweils $ (r,\varphi)\in [0,1]\times [-\pi,\pi]$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006