Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1353: Gaußscher Integralsatz

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1353: Gaußscher Integralsatz

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Es sei $B=\{ (x,y,z)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3 \, \vert \, 0 \leq z \leq x^2 + y^2 \leq 2 \}$ . Berechne für das Vektorfeld $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definiert durch

$\displaystyle f(x,y,z)=\begin{pmatrix}xz + \frac{x^3}{3}\\ 2 z e^{xy}\\ zy^2 - \frac{z^2}{2} - xz^2 e^{xy} \end{pmatrix}$

das Integral

$\displaystyle \int_{\partial B} f\; .$

Dabei sei der Rand $\partial B$ so parametrisiert, daß der Normalenvektor stets nach außen zeige.

Es ist

$\displaystyle \mathrm{div }f \;=\; z+x^2+2xze^{xy} + y^2 - z - 2xz e^{xy} \;=\; x^2+y^2\; .$

Mit dem Gaußschen Integralsatz ist unter Verwendung von Zylinderkoordinaten

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\partial B} f & = & \... ...sqrt{2}}\vspace{3mm}\\ & = & \dfrac{8}{3}\;\pi\; . \end{array}\end{displaymath}$

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 11. 8. 2006