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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu | |
Aufgabe 1355: Differentiation und Integration von Fourierreihen |
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An welchen Stellen haben die Funktion und ihre Fourierreihe denselben Wert?
Verwende hierzu die Fourierreihe aus 1.
Die Funktionswerte von
in
spielen für die Berechnung der Koeffizienten
keine Rolle.
Wir erhalten für
woraus sich die Fourierreihe
ergibt.
In
ist
differenzierbar, dort ist also
.
Ist
, so hat
in
einen links- und rechtsseitigen Grenzwert, und ist links- und rechtsseitig differenzierbar. Als
Wert der Fourierreihe ergibt sich das arithmetische Mittel des linksseitigen und des rechtsseitigen Grenzwerts, nämlich 0
.
Dies ist zugleich der Funktionswert von
in
. Also ist auch hier
.
Insgesamt ist
für alle
.
Skizze des Graphen der ersten
und des Graphen der ersten
Summanden der Fourierreihe.
Skizze des Graphen der ersten
Summanden der Fourierreihe in der Nähe von
.
mit
Insgesamt wird also
Skizze des Graphen der ersten
und des Graphen der ersten
Summanden der Fourierreihe.
Skizze des Graphen der ersten
und des Graphen der ersten
Summanden der Fourierreihe in der Nähe von
.
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |