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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1356: Eine Fourierentwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Berechne die Fourierreihe der auf $ \mathbb{R}$ definierten Funktion $ f(x)=\vert\sin(x)\vert$ .

An welchen Stellen haben die Funktion und ihre Fourierreihe denselben Wert?

Die kleinstmögliche Periode von $ f$ ist $ \pi$ . Wir berechnen für $ k\in\mathbb{Z}$

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} c_k(f) & = & \dfrac{1}{\pi}\displaysty... ...3mm}\\ & = & -\dfrac{2}{\pi(4k^2 - 1)} \; .\\ \end{array} \end{displaymath}

Das Ergebnis ist reell, also ist $ b_k = 0$ stets (was auch folgt, da $ f$ gerade ist), und

$\displaystyle a_k(f) \;=\; 2\,\operatorname{Re }c_k(f) \;=\; -\dfrac{4}{\pi(4k^2 - 1)} $

für $ k\ge 0$ . Daher ist die Fourierreihe von $ f$ gegeben durch

$\displaystyle S_f(x) \;=\; \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2kx)}{4k^2 - 1}\; . $

Es gilt $ S_f(x)=f(x)$ für alle $ x\in\mathbb{R}$ , da $ f$ auf $ \mathbb{R}$ stetig, bei $ x\in\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Z}$ differenzierbar, und bei $ x\in\pi\mathbb{Z}$ immerhin noch links- und rechtsseitig differenzierbar ist.

Skizze des Graphen der ersten $ 3$ und des Graphen der ersten $ 20$ Summanden der Fourierreihe.

\includegraphics[width = 12cm]{s3.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 22.  8. 2006