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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1358: Fouriertransformation, Parsevalsche Gleichung, Poissonsche Summenformel

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ f(t) := (t^2 + 1)^{-1}$ .

(1)
Berechne die Fouriertransformierte von $ f(t)$ .
(2)
Berechne die Fouriertransformierte von $ t f(t)^2$ .
(3)
Berechne die Fouriertransformierte von $ t^2 f(t)^2$ .
(4)
Bestätige im vorliegenden Fall durch direkte Rechnung, daß $ (f^\wedge)^\wedge(t) = 2\pi\cdot f(-t)$ .
(5)
Verwende die Parsevalsche Gleichung zur Berechnung von $ \int_{-\infty}^{+\infty} (t^2 + 1)^{-2}\,\mathrm{d}t$ .
(6)
Verwende die Poissonsche Summationsformel zur Berechnung von $ \sum_{n = 1}^\infty (1 + n^2)^{-1}$ .

(1)
Verwende, falls schon bekannt, den Residuensatz aus der Funktionentheorie. Ansonsten verwende in den folgenden Aufgabenteilen das Resultat

$\displaystyle [(t^2 + 1)^{-1}]^\wedge(\omega) \; =\; \pi\cdot e^{-\vert\omega\vert}\; . $

(2)
Betrachte $ f'(t)$ .
(3)
Verwende (2).
(4)
Verwende (1).
(5)
Das Resultat ist $ \pi/2$ .
(6)
Wir erkennen eine geometrische Reihe. Das Resultat ist $ -\dfrac{\pi + 1}{2} + \dfrac{\pi}{1 - e^{-2\pi}}$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006