Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu: Aufgabe 1360: Fouriertransformation, Faltung, Poissonsche Summenformel, Parsevalsche Gleichung

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	Aufgabe 1360: Fouriertransformation, Faltung, Poissonsche Summenformel, Parsevalsche Gleichung

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Sei $f(t) = \exp(-\vert t\vert)$ .

(1): Berechne die Faltung $(f\ast f)(t)$ .
(2): Berechne die Fouriertransformierte $\hat{f}(\omega)$ .
(3): Berechne $[\vert t\vert e^{-t}]^\wedge(\omega)$ unter Zuhilfehnahme der Faltung.
(4): Zeige, daß $\displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac{1}{1 + 4\pi^2 n^2} = \dfrac{3e - 1}{4e - 4}$ .
(5): Zeige, daß $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{(1 + s^2)^2}\,\mathrm{d}s = \dfrac{\pi}{2}$ .

(1): Integriere von bis und von bis $\infty$ .
(2): Integriere von $-\infty$ bis 0 und von 0 bis $+\infty$ .
(3): Berechne $(\hat{f}(\omega))^2$ mit (2) und mit (1). Vergleiche.
(4): Wende die Poissonsche Summationsformel an.
(5): Wende die Parsevalsche Gleichung an.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

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automatisch erstellt am 11. 8. 2006