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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1371: Totale Differenzierbarkeit. Tangentialebene. Gradient.

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Sei $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x_1,x_2)=-x_1^2-x_2^2$ gegeben.
  1. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass $ f$ in jedem Punkt $ (x_1,x_2)$ total differenzierbar ist.
  2. Bestimmen Sie die Tangente der Funktion $ f$ am Punkt $ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2$ in Richtung $ \mathbf{a}\in \mathbb{R}^2$ mit $ \vert\mathbf{a}\vert =1$ in der Form

    $\displaystyle \mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3)^\top=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))^\top + \lambda\mathbf{v}_1\,, $

    mit $ \lambda\in \mathbb{R}$, $ \mathbf{v}\in \mathbb{R}^3$.

  3. Zeigen Sie, dass die Tangenten der Funktion $ f$ am Punkt $ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2$ in Richtung $ \mathbf{a}$ für alle Richtungen $ \mathbf{a}\in \mathbb{R}^2$ mit $ \vert\mathbf{a}\vert =1$ in einer Ebene liegen. Bestimmen Sie diese Ebene (die Tangentialebene) im Punkt $ (x_1,x_2)$ in der Form

    $\displaystyle \mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3)^\top=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))^\top + \lambda\mathbf{v}_1 + \mu\mathbf{v}_2\,, $

    mit $ \lambda,\mu\in \mathbb{R}$, $ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in \mathbb{R}^3$. Stellen Sie den Zusammenhang mit dem Gradienten von $ f$ dar.

  1. $\displaystyle f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = -(x_1+h_1)^2 -(x_2+h_2)^2 = f(\mathbf{... ...\mathbf{h} -\mathbf{h}\mathbf{h} = f(\mathbf{x}) -2\mathbf{x}\mathbf{h} + o(h) $

    da

    $\displaystyle \frac {\vert\mathbf{h}\mathbf{h}\vert}{\vert\mathbf{h}\vert} = \vert\mathbf{h}\vert \to 0 $

    Also ist $ f$ total differenzierbar mit Gradient $ \nabla f(\mathbf{x})=-2\mathbf{x}$

  2. Es ist

    $\displaystyle \mathbf{r}=(x_1,x_2,f(x_1,x_2)) + \lambda(a_1,a_2,\nabla f\mathbf{a}) $

  3. $\displaystyle (a_1,a_2,\nabla f\mathbf{a}) = a_1 (1,0,\nabla f\mathbf{e}_1) + a_2 (0,1,\nabla f\mathbf{e}_2) $

    Also gilt

    $\displaystyle \mathbf{r}=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))^\top + \lambda(1,0,\nabla f\mathbf{e}_1) + \mu (0,1,\nabla f\mathbf{e}_2) $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 9.  8. 2006