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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1373: Richtungsableitung mit L'Hospital.

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Zeigen Sie, dass die Funktion

$\displaystyle f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x_1,x_2)=\frac {x_1^2\sin x_2}{1-\cos x_2 +x_1^2\sin^2 x_1}, f(0,0)=0 $

in $ (0,0)$ Richtungsableitungen in jede Richtung $ a$ besitzt, aber dort nicht stetig ist. Hinweis: Entwickeln Sie Zähler und Nenner um $ (0,0)$ oder verwenden Sie L'Hospital. Vgl. Ferienblatt.

$\displaystyle f(\lambda a)=\frac {\lambda^2a_1^2\lambda a_2 + o(\lambda^3)}{\lambda^2a_2^2/2-\lambda^4a_2^4/4! +\lambda^4a_1^4 + o(\lambda^4)} $

\begin{displaymath} f_a = \lim_{ \lambda \to 0 } \frac 1\lambda \frac {\lambda^2... ...\lor a_2=0 \\ \frac{2a_1^2}{a_2} & \text{ sonst } \end{cases}\end{displaymath}

$\displaystyle \lim_{\lambda\to0}f(\lambda,\lambda^2) = \lim_{\lambda\to0} \frac... ...ambda^4 + o(\lambda^4)}{\lambda^4/2 +\lambda^4 + o(\lambda^4)} = \frac {2}{3} $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 9.  8. 2006