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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1378: Taylor-Approximation.

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Berechnen Sie für

$\displaystyle f(x,y)=\cos(x\cos(y)) $

die Taylor-Approximation um den Punkt $ (0,0)$ bis zu Termen der 2. Ordnung einschließlich und das zugehörige Restglied.
$ T_2=1-\frac{1}{2}x^2$ ( parabolischer Zylinder)

$ f(x)=\cos(x\cos(y))$, $ g(x)=\sin(x\cos(y))$, $ g_x=f\cos(y)$, $ g_y=-fx\sin(y)$

$\displaystyle f_{x}=-g\cos(y), f_{y}=gx\sin(y) $

$\displaystyle f_{xx}=-f\cos^2(y), f_{xy}=-fx\sin(y)\cos(y)+g\sin(y), f_{yy}=gx\cos(y)-fx^2\sin^2(y) $

$\displaystyle f_{xxx}=g\cos^3(y),f_{xxy}=-gx\sin(y)\cos^2(y) +2f\cos(y)\sin(y) $

$\displaystyle f_{yyx}=fx\cos^2(y)+g\cos(y) + gx^2\cos(y)\sin^2(y) - 2fx\sin^2(y) $

$\displaystyle f_{yyy}= -fx^2\sin(y)\cos(y) -gx\sin(y) -gx^3\sin^3(y) -2fx^2\sin(y)\cos(y) $

$\displaystyle \tilde{y}=y_0+\vartheta(y-y_0) , \tilde{x}=x_0+\vartheta(x-x_0), ... ...)^\top, \tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{x}_0+\vartheta (\mathbf{x}-\mathbf{x_0}) $

$\displaystyle R_2(\mathbf{x},\mathbf{x_0})= \frac16(x-x_0)^3 f_{xxx} (\tilde{\m... ...^2 f_{yyx} (\tilde{\mathbf{x}})+ \frac16(y-y_0)^3 f_{yyy} (\tilde{\mathbf{x}}) $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 9.  8. 2006