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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1380: Taylor-Entwicklung.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung von

$\displaystyle f(t)=\sqrt{1-2t+3t^2}\,,\qquad t_0=0 $

sowie von

$\displaystyle g(x,y)=\frac{f(x)}{2-f(y)}\,,\qquad (x_0,y_0)=(0,0) $

jeweils bis zu Termen zweiter Ordnung einschließlich.
Für $ \varphi(u)=(1+u)^{1/2}$ ist

$\displaystyle \varphi'(u)=\frac{1}{2}(1+u)^{-1/2}, \qquad \varphi''(u)=-\frac{1}{4}(1+u)^{-3/2}\,, $

und es folgt

$\displaystyle \varphi(u)=1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^2+O(u^3). $

Mit $ u=-2t+3t^2$ erhält man

$\displaystyle f(t) = 1+\frac{1}{2} (-2t+3t^2)-\frac{1}{8}(-2t+3t^2)^2+\cdots = 1-t+t^2+\cdots\,. $

Verwendet man die geometrische Reihe

$\displaystyle \frac{1}{1-q}=1+q+q^2+\cdots $

mit $ q=-y+y^2$, so folgt
$\displaystyle g(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-x+x^2+\cdots}{2-1+y-y^2+\cdots}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (1-x+x^2)\big(1+(-y+y^2)+(-y+y^2)^2+\cdots\big)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-x-y+{x}^{2}+yx+2\,{y}^{2}+\cdots\,.$  

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 9.  8. 2006