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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1384: Newtonverfahren.

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Bestimmen Sie den minimalen Abstand der Graphen der Funktionen

$\displaystyle f(x)= x^3\,,\quad g(x)=(x-1)^3\,, $

also das Minimum der Funktion $ (x_0,x_1)\mapsto(x_0-x_1)^2+(f(x_0)-g(x_1))^2$.

Hinweis: Nach Vereinfachung des notwendigen Kriteriums ist die Nullstelle eines Polynoms 5. Ordung mit Hilfe des Newtonverfahrens zu bestimmen, wobei die absolute Genauigkeit der Nullstelle mindestens $ 0.5\cdot 10^{-6}$ betragen soll. Wenn Ihnen das hinreichende Kriterium noch nicht zur Verfügung steht, können Sie auch geometrisch argumentieren, dass es sich hierbei um ein Minimum handeln muss.

Notwendig
$\displaystyle 2(x_0-x_1) + 2(x_0^3-(x_1-1)^3)3x_0^2$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle -2(x_0-x_1) - 2(x_0^3-(x_1-1)^3)3(x_1-1)^2$ $\displaystyle =$ 0  

addieren:

$\displaystyle (x_0^3-(x_1-1)^3)(3x_0^2-(x_1-1)^2) =0 $

also $ x_0=\pm (x_1-1)$. Man sieht sofort, dass $ x_0-x_1=1$ keine Lösung der beiden Gleichungen ist. Für $ x_0+x_1=+1$ erhalten wir aus der ersten Gleichung

$\displaystyle h(x_0)= 2x_0-1 + 6x_0^5=0 $

Lösen mit Newton liefert:

$\displaystyle \tilde{x}_0=0.446663570488\,,$    mit $\displaystyle \vert h(\tilde{x}_0)\vert = 4.5814733732e-09 $

Da $ h'>2$ gilt mit dem Mittelwertsatz für $ h^{-1}$ (oder elementar geometrisch)

$\displaystyle \vert x_0-\tilde{x}_0\vert \leq \frac12 4.5814733732e-09 $

und somit ist unsere Näherung innerhalb der geforderten Toleranz.

Somit sind die Punkte

$\displaystyle (0.446663570488,.0891131098097), (.553336429512,-.0891131098097) $

und der Abstand gleich

$\displaystyle .207710577998 $

Hinreichendes Kriterium

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 + 30x_0^4-12(x_1-1)^3x_0 & -2 -18x_0^2(x_1-1)^2\\ -2 -18x_0^2(x_1-1)^2 & 2 - 12x_0^3(x_1-1) +30 (x_1-1)^4 \end{pmatrix}$

einsetzen $ x_1=1-x0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 + 42x_0^4 & -2 -18x_0^4\\ -2 -18x_0^4 & 2 +42x_0^4 \end{pmatrix}$

ist also positiv definit für alle $ x_0$. Unsere Lösung ist also ein Minimum.

Geometrisch für kürzesten Abstand: $ f'(x_0)=g'(x_1)$, also $ x_0=\pm (x_1-1)$ für große $ x_0>1$ ist offensichtlich $ x_0-x_1=1$ der kleinere der beiden Abstände, dieser ist aber immer größer gleich $ 1$.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 9.  8. 2006