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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1066: Integration mit Substitution

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Berechnen Sie
a)     $ \displaystyle\int \frac{dx}{1+e^x}$                 b)     $ \displaystyle\int\limits_0^{\pi^2}\sin \sqrt{x}\,dx$
a)
Mit der Substitution

$\displaystyle u=e^x \,,\quad du=e^x\,dx $

erhält man

$\displaystyle \int \frac{dx}{1+e^x} = \int \frac{1}{1+u}\, \frac{1}{u}\, du \,. $

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung

$\displaystyle \frac{1}{(1+u)u} = \frac{1}{u}\,-\, \frac{1}{1+u} $

ergibt sich die Stammfunktion

$\displaystyle \ln \vert u\vert - \ln \vert 1+u\vert +c = \ln \frac{e^x}{1+e^x}\,+ c\,. $

b)
Mit der Substitution

$\displaystyle u=\sqrt{x}\,,\quad du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\, dx\,,\quad x\in[0,\pi^2] \Leftrightarrow u \in [0,\pi] $

erhält man

$\displaystyle \int\limits_0^{\pi^2} \sin \sqrt{x}\, dx = \int\limits_0^\pi \sin u \, 2u\, du $

und mit partieller Integration den Wert

$\displaystyle \left[-\cos u\, (2u) \right]_0^\pi -\int\limits_0^\pi -\cos u\, 2\, du = -(-1)(2\pi)+0+\left[2 \sin u\right]_0^\pi = 2\pi\,. $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 9.  8. 2006