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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 1064: Konvergenz und Grenzwerte von Reihen

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a)
Es gilt

$\displaystyle \lim_{k\to+\infty}\sqrt[k]{\vert a_k\vert}= \lim_{k\to+\infty}\sqrt[k]{\left\vert\frac{2(2+(-1)^k)}{2^k}\right\vert}=\frac{1}{2}\,, $

d. h. die Reihe ist konvergent nach dem Wurzel-Kriterium. Aufgrund des alternierenden Terms $ 2+(-1)^k$ läßt sich mit dem Quotienten-Kriterium keine Aussage über die Konvergenz der Reihe gewinnen.
b)
Es ist

$\displaystyle \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\cdot \frac{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{k}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}$    
  $\displaystyle \ge\frac{1}{\sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k+1})}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2(k+1)}$    

und nach dem Minoranten-Kriterium die Reihe also divergent.

c)
Mit der Abschätzung

$\displaystyle \frac{1}{k^2-k}\le\frac{2}{k^2} \Longleftrightarrow k^2 \le 2k^2-2k \Longleftrightarrow 2\le k $

ist die Reihe nach dem Majoranten-Kriterium absolut konvergent.

d)
Wegen

$\displaystyle \lim_{k\to+\infty} (1-\cos(1/k))=0 $

bilden die

$\displaystyle \frac{1}{1-\cos(1/k)} $

keine Nullfolge, die Reihe ist also divergent.
e)
Es ist

$\displaystyle \frac{1}{(3k+1)(3k-2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right) $

und damit

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(3k+1)(3k-2)}= \fr... ...um\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3k+1}}_{=0} - \frac{1}{3n+1}\right)=\frac{1}{3} $

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 28.  8. 2006