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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu | |
Interaktive Aufgabe 1065: Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt |
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Es gilt
. Die beiden
Folgen besitzen also denselben Grenzwert. Wäre nun
an der Stelle
stetig, so müsste
gelten. Die Folge der
ist konstant, also gilt
für alle
und damit
.
Andererseits ist
, damit
und folglich
. Die Funktion
ist also an der Stelle
nicht
stetig.
Für die Stelle können wir zeigen, dass
stetig ist. Es sei ein
beliebiges
vorgegeben. Wir müssen nun ein
finden - das
durchaus von dem gegebenen
abhängt -, so dass für alle
mit
auch
gilt. Wir wählen
. Für ein beliebiges
mit
gilt dann
Analog zeigt man, dass auch an der Stelle 0 stetig ist.
automatisch erstellt am 28. 8. 2006 |