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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 1065: Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt

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Wir zeigen zuerst, dass die Funktion $ f$ an der Stelle $ 1$ unstetig ist. Dazu verwenden wir die Folgen $ (x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ mit $ x_k = 1$ für alle $ k\in\mathbb{N}$ und $ (y_k)_{k\in\mathbb{N}}$ mit $ y_k = 1+\frac{1}{k}$ für $ k\in\mathbb{N}$.

Es gilt $ \lim_{k\to +\infty}x_k = 1 = \lim_{k\to +\infty}y_k$. Die beiden Folgen besitzen also denselben Grenzwert. Wäre nun $ f$ an der Stelle $ 1$ stetig, so müsste $ \lim_{k\to +\infty}f(x_k) = \lim_{k\to +\infty}f(y_k)$ gelten. Die Folge der $ x_k$ ist konstant, also gilt $ f(x_k)=f(1)=42$ für alle $ k\in\mathbb{N}$ und damit $ \lim_{k\to +\infty}f(x_k)=42$.

Andererseits ist $ f(y_k)=f(1+\frac{1}{k})=\ldots=\frac{2}{k}+3$, damit $ \lim_{k\to +\infty}f(y_k)=3$ und folglich $ \lim_{k\to +\infty}f(x_k) \neq \lim_{k\to +\infty}f(y_k)$. Die Funktion $ f$ ist also an der Stelle $ 1$ nicht stetig.

Für die Stelle $ -1$ können wir zeigen, dass $ f$ stetig ist. Es sei ein beliebiges $ \varepsilon>0$ vorgegeben. Wir müssen nun ein $ \delta$ finden - das durchaus von dem gegebenen $ \varepsilon$ abhängt -, so dass für alle $ x\in\mathbb{R}$ mit $ \left\vert x-(-1)\right\vert<\delta$ auch $ \left\vert f(x)-f(-1)\right\vert<\varepsilon$ gilt. Wir wählen $ \delta=\frac{1}{2}\varepsilon$. Für ein beliebiges $ x\in\mathbb{R}$ mit $ \left\vert x-(-1)\right\vert<\delta$ gilt dann

$\displaystyle \left\vert f(x)-f(-1)\right\vert=\ldots=\left\vert 2x+2\right\vert=2\left\vert x+1\right\vert<2\delta=\varepsilon\,$.

Also ist $ f$ an der Stelle $ -1$ stetig.

Analog zeigt man, dass $ f$ auch an der Stelle 0 stetig ist.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 28.  8. 2006