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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1387: Konvergenz von Reihen

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Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und Divergenz.
a)
$ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\tan\frac{1}{k}$
b)
$ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\sin\frac{1}{k}\right)^2$
In beiden Fällen greift für $ x\in(0,\frac{\pi}{2})$ die Abschätzung $ \sin x<x<\tan x$ aus der Vorlesung. Es gilt sicherlich $ \frac{1}{k}<\frac{\pi}{2}$ für alle $ k\in\mathbb{N}$.
a)
Mit obiger Vorüberlegung gilt $ \frac{1}{k}<\tan\frac{1}{k}$ für alle $ k\in\mathbb{N}$. Daraus folgt die Abschätzung

$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{k}<\sum^{n}_{k=1}\tan\frac{1}{k}$    für alle $ n\in\mathbb{N}$.

Damit sind alle Partialsummen der zu untersuchenden Reihe echt größer als die entsprechenden Partialsummen der harmonischen Reihe. Demnach divergiert nach dem Minorantenkriterium die Reihe $ \sum^{n}_{k=1}\tan\frac{1}{k}$.
b)
Aus $ \sin x<x$ folgt $ \left(\sin\frac{1}{k}\right)^2 < \left(\frac{1}{k}\right)^2$. Mit dem Majorantenkriterium und der Abschätzung

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\sin\frac{1}{k}\right)^2 < \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} $

ergibt sich die Konvergenz der zu untersuchenden Reihe.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006