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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1388: Grenzwertbestimmung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diesen gegebenenfalls.
a)
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\displaystyle\frac {\sin x}{\tan x}$
b)
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}e^{-\frac{1}{x^{2}}}_{\strut}$
c)
$ \lim\limits_{x\rightarrow 0+0}\displaystyle\frac{\sin x}{x^2}$ und $ \lim\limits_{x\rightarrow 0-0}\displaystyle\frac{\sin x}{x^2}$
d)
$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(x\tan\frac{1}{x}\right)$
a)
Es ist $ \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\tan x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1} = 1$.

Alternativ: $ \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\tan x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x... ...n x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=1\cdot 1=1$.

b)
Eine vorausgehende Betrachtung der Verhältnisse führt zu der Vermutung $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}e^{-\frac{1}{x^{2}}}_{\strut}=0$, denn $ -\displaystyle\frac{1}{x^2}\overset{x\to 0}{\longrightarrow}-\infty$ und $ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$.

Diese Vermutung gilt es nun zu beweisen. Es ist $ e^{-\frac{1}{x^{2}}}_{\strut}=e^{-\frac{1}{(-x)^{2}}}_{\strut}$, also reicht es aus, $ \lim\limits_{x\rightarrow 0+0}e^{-\frac{1}{x^{2}}}_{\strut}$ zu untersuchen. Weiter ist aus der Vorlesung bekannt

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 0+0}e^{-\frac{1}{x^{2}}}_{\strut}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}e^{-t^{2}}_{\strut}\,\text{.} $

Sei $ \varepsilon>0$ vorgegeben. Für Konvergenzuntersuchungen reicht es, sich auf ,,kleine`` $ \varepsilon$ zu beschränken. Deshalb sei zusätzlich $ \varepsilon<1$ gefordert. Bekanntlich gilt: $ a<b$ impliziert $ e^{-b}<e^{-a}$ und $ 0<c<d$ impliziert $ c^2<d^2$. Für $ s=\sqrt{-\ln\varepsilon}$ und $ t\in\mathbb{R}$ mit $ 0<s<t$ ergibt sich:

$\displaystyle \left\vert e^{-t^{2}}-0\right\vert<\left\vert e^{-s^{2}}-0\right\vert=\left\vert e^{\ln\varepsilon}\right\vert=\varepsilon $

Damit ist die Vermutung bewiesen.

c)
Laut Vorlesung gilt: $ \lim\limits_{x\to 0+0}\frac{\sin x}{x}=1$. Für $ \varepsilon=\frac{1}{2}$ gibt es denmach ein $ \delta>0$ so, dass für alle $ x\in U= U_\delta(0)\cap\mathbb{R}^+$ gilt: $ \left\vert\frac{\sin x}{x}-1\right\vert<\frac{1}{2}$. Für $ x\in U$ ist weiterhin $ \frac{\sin x}{x}<1$ und folglich auch $ \frac{\sin x}{x}>\frac{1}{2}$; deswegen gilt die Abschätzung:

$\displaystyle \frac{\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\,$.

Mit $ \lim\limits_{x\to 0+0}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=+\infty$ folgt somit $ \lim\limits_{x\to 0+0}\frac{\sin x}{x^2}=+\infty$.

Aus der Vorlesung ist bekannt:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-0}f(x)=\lim_{t\to x_0+0}f(2x_0-t)\,$.

Dies liefert:

$\displaystyle \lim_{x\to 0-0}\frac{\sin x}{x^2}=\lim_{t\to 0+0}\frac{\sin(-t)}{(-t)^2}=\lim_{t\to 0+0}-\frac{\sin t}{t^2}=-\infty\,\text{.} $

d)
In der Vorlesung wurde gezeigt:

$\displaystyle \lim_{t\to 0+0}\frac{\tan t}{t}=1\,$.

Unter Verwendung der Grenzwertsätze für Funktionen ergibt sich:

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(x\tan \frac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0+0}... ...{\left(\frac{1}{t}\right)}\right) =\lim_{t\to 0+0}\frac{\tan t}{t}=1\,\text{.} $

(Ackermann/Poppitz)
[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 24. 10. 2007