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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1389: Funktionsuntersuchung auf Stetigkeit

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die Funktionen $ f$ und $ g$ sind definiert durch

$ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$          $ g(x)=\displaystyle\frac{x^3-x}{\left\vert x\right\vert(x-1)}$.

a)
Skizzieren Sie die Funktionen.
b)
Bestimmen Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich.
c)
Wie sieht der Abschluss des Definitionsbereichs aus?
d)
Sind die Funktionen stetig?
e)
An welchen Punkten und mit welchen Funktionswerten lassen sich die Funktionen (einseitig) stetig fortsetzen?
a)

\includegraphics{H6_1} \includegraphics{H6_2}

b)
Es ist $ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ und $ D_g=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$.
c)
Für beide Funktionen ist der Abschluss des Definitionsbereichs jeweils die Menge der reellen Zahlen.
d)
Die Exponentialfunktion und rationale Funktionen sind stetig. Die Funktionen $ f$ und $ g$ sind als Verkettung solcher Funktionen stetig.
e)
Die Funktion $ f$ lässt sich bei $ x=0$ mit $ f(0)=0$ nur linksseitig stetig fortsetzen, da $ \lim\limits_{x\to0+0}f(x)=+\infty$ ist.

Die Funktion $ g$ lässt sich bei $ x=1$ mit $ g(1)=2$ stetig fortsetzen. Bei $ x=0$ kann dies wahlweise linksseitig mit $ g(0)=-1$ oder rechtsseitig mit $ g(0)=1$ geschehen.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006