Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die reelle Funktion $ f$ sei durch die Zuordnung $ x\mapsto e^{-x}$ gegeben.
a)
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie den Wertebereich von $ f$ an.
b)
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
c)
Bestimmen Sie die Potenzreihe von $ e^{-x}$ um den Entwicklungspunkt 0 und geben Sie deren Konvergenzradius an.
d)
Berechnen Sie damit $ \frac{1}{e}$ auf zwei Dezimalstellen genau. Verwenden Sie hierzu eine geeignete Fehlerabschätzung.
a)
Wie bei der Exponentialfunktion ist für $ f$ der maximale Definitionsbereich $ D=\mathbb{R}$ und der Wertebereich $ W=\mathbb{R}^+$.
b)

\includegraphics[height=3.5cm]{H7}

c)
Die Potenzreihe von $ e^x$ liefert für $ f$ um den Entwicklungspunkt 0 die Potenzreihe

$\displaystyle e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}(-x)^k= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}x^k\,, $

die für alle $ x\in\mathbb{R}$ konvergiert. Dieser Konvergenzradius lässt sich wahlweise mit dem Quotienten- oder mit dem Wurzelkriterium bestimmen.
d)
Aus der Potenzreihe erhält man für $ x=1$ die alternierende Reihe

$\displaystyle \frac{1}{e}=\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k a_k $

mit $ a_k=\frac{1}{k!}$. Die ersten Glieder der Folge $ (a_k)_{k\in\mathbb{N}_0}$ sind dabei

$ a_0=1$, $ a_1=1$, $ a_2=1/2$, $ a_3=1/6$, $ a_4=1/24$, $ a_5=1/120$, $ a_6=1/720$.

Diese Folge ist eine monoton fallende Nullfolge und mit dem Leibnizkriterium gilt somit

$\displaystyle \left\vert\frac{1}{e}-\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k a_k\right\vert\le\vert a_{n+1}\vert\,. $

Speziell ergibt sich

$\displaystyle \frac{1}{e}$ $\displaystyle \approx \sum\limits_{k=0}^5 (-1)^k a_k=\frac{11}{30}=0,3\bar{6}$    

mit


$\displaystyle \left\vert\frac{1}{e}-\frac{11}{30}\right\vert$ $\displaystyle \le\frac{1}{720}=0,0013\bar{8}\,.$    

(Ackermann/Poppitz)
  automatisch erstellt am 24. 10. 2007