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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1391: Konvergenzradien komplexer Potenzreihen

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Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden komplexen Potenzreihen:
a)
$ \sum\limits_{k=0}^\infty k^2 z^k$
b)
$ \sum\limits_{k=0}^\infty 2^k z^k$
c)
$ \sum\limits_{k=1}^\infty k^k z^k$
d)
$ \sum\limits_{k=1}^\infty k^{-k} z^k$
a)
Das Quotientenkriterium liefert $ \lim\limits_{k\to\infty}\frac{\left\vert(k+1)^2\right\vert}{\left\vert k^2\right\vert}=1$ und damit den Konvergenzradius $ \rho=1$.
b)
Das Wurzelkriterium liefert $ \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^k}=2$ und damit den Konvergenzradius $ \rho=1/2$.
c)
Das Wurzelkriterium liefert $ \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k^k}=\infty$ und damit den Konvergenzradius $ \rho=0$.
d)
Das Wurzelkriterium liefert $ \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{1}{k^k}}=0$ und damit den Konvergenzradius $ \rho=\infty$.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006