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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1392: komplexe trigonometrische Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Zeigen Sie für $ z\in\mathbb{C}$ mit Hilfe der Formel von Euler und de Moivre

$\displaystyle \cos(z)=\frac{e^{ i z}+e^{- i z}}{2}$   und$\displaystyle \quad \sin(z)=\frac{e^{ i z}-e^{- i z}}{2 i }\,. $

b)
Beweisen Sie für $ z\in\mathbb{C}$ das folgende Additionstheorem:

$\displaystyle \left(\cos(z)\right)^2+\left(\sin(z)\right)^2=1\,$.

a)
Nach der Formel von Euler und de Moivre ist $ e^{ i z}=\cos(z)+ i \sin(z)$ und damit gilt $ e^{- i z}=\cos(-z)+ i \sin(-z)=\cos(z)- i \sin(z)$. Daraus folgt

$\displaystyle \frac{e^{ i z}+e^{- i z}}{2}$ $\displaystyle = \frac{\cos(z)+ i \sin(z)+\cos(z)- i \sin(z)}{2}=\cos(z)$    

und


$\displaystyle \frac{e^{ i z}-e^{- i z}}{2 i }$ $\displaystyle = \frac{\cos(z)+ i \sin(z)-\cos(z)+ i \sin(z)}{2 i }=\sin(z)\,.$    

b)
Mit obigen Formeln ergibt sich

$\displaystyle \cos^2(z)+\sin^2(z)$ $\displaystyle =\left(\frac{e^{ i z}+e^{- i z}}{2}\right)^2+ \left(\frac{e^{ i z}-e^{- i z}}{2 i }\right)^2$    
  $\displaystyle =\frac{e^{2 i z}+2+e^{-2 i z} -e^{2 i z}+2-e^{-2 i z}}{4}$    
  $\displaystyle =1\,$.    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006