Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1393: Ableitungen von Summen, Produkten und Verkettungen von Funktionen

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	Aufgabe 1393: Ableitungen von Summen, Produkten und Verkettungen von Funktionen

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Gegeben sind die Funktionen

$\displaystyle f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$	$\displaystyle \colon x\mapsto 2(x-1)^2$
$\displaystyle g\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$	$\displaystyle \colon x\mapsto x^3-2x^2+1$
$\displaystyle h\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$	$\displaystyle \colon x\mapsto \frac{1}{e^x}$

Bilden Sie auf den jeweiligen gegebenenfalls noch zu bestimmenden Definitionsbereichen die Ableitungen von

, $f\cdot g$ , $\frac{f}{g}$ , $f\cdot h$ , $\frac{g}{h}$ , $f\circ h$ und $h\circ\frac{f}{g}$ .

Unter Verwendung von Summen-, Produkt-, Quotienten und Kettenregel ergibt sich:

$h'(x)=-\frac{1}{e^x}$
$(g+h)'(x)=g'(x)+h'(x)=3x^2-4x-\frac{1}{e^x}$
$(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=10x^4-32x^3+30x^2-4x-4$
Im Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-\frac{1+\sqrt{5}}{2},-\frac{1-\sqrt{5}}{2},1\}$ ist
$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}=-\frac{2(x^2-2x+2)}{(x^2-x-1)^2}$
$\displaystyle(f\cdot h)'(x)=-2\,\frac{x^2-4x+3}{e^x}$
$\displaystyle\left(\frac{g}{h}\right)'(x)=e^x(x^3+x^2-4x+1)$
$\displaystyle(f\circ h)'(x)=f'(h(x))\cdot h'(x)=-4\,\frac{1-e^x}{e^{2x}}$
Im Definitionsbereich $\mathbb{R}\setminus\{-\frac{1+\sqrt{5}}{2},-\frac{1-\sqrt{5}}{2},1\}$ ist
$\displaystyle\left(h\circ\frac{f}{g}\right)'(x) =% h'\left(\frac{f(x)}{g(x)}\r... ...(x))^2} = 2\,\frac{x^2-2x+2}{(x^2-x-1)^2}\,e^{\frac{-2(x-1)}{x^2-x-1}}_{\strut}$

(Ackermann/Poppitz)

automatisch erstellt am 25. 8. 2006