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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1394: komplexe hyperbolische Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es seien

$\displaystyle \cosh\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto\frac{e^x+e^{-x}}{2}$   und$\displaystyle \quad \sinh\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto\frac{e^x-e^{-x}}{2} $

.

a)
Berechnen Sie die Ableitungen $ \left.\frac{ d }{ d x}\cosh(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ und $ \left.\frac{ d }{ d x}\sinh(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ für $ x_0\in\mathbb{R}$.
b)
Schränken Sie $ \sinh$ und $ \cosh$ im Definitions- und Wertebereich auf geeignete Intervalle so ein, dass die beiden Umkehrfunktionen Areacosinus Hyperbolicus $ \operatorname{arcosh}$ und Areasinus Hyperbolicus $ \operatorname{arsinh}$ jeweils existieren und skizzieren Sie diese.
c)
Berechnen Sie $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arcosh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ und $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arsinh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion.
d)
Zeigen Sie, dass für alle $ x$ in den jeweiligen Definitionsbereichen gilt:

$\displaystyle \operatorname{arcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$   und$\displaystyle \quad \operatorname{arsinh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\,$.

Hinweis: Substituieren Sie hierzu $ \tilde{x}=e^x$ in der Definition von $ \cosh$ und $ \sinh$.
e)
Bestimmen Sie nun anhand dieser Formeln erneut die Ableitungen $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arcosh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ und $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arsinh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$. Verifizieren Sie damit Ihr Ergebnis, das Sie über die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen haben.
a)
Es ist für beliebige $ x_0\in\mathbb{R}$

$\displaystyle \left.\frac{ d }{ d x}\cosh(x)\right\vert _{x=x_0}$ $\displaystyle =\left.\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right\vert _{x=x_0}=\sinh(x_0)$    
$\displaystyle \left.\frac{ d }{ d x}\sinh(x)\right\vert _{x=x_0}$ $\displaystyle =\left.\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right\vert _{x=x_0}=\cosh(x_0)\,$.    

b)
Die Funktion $ \cosh$ ist auf $ \mathbb{R}^+_0$ streng monoton und stetig mit dem Wertebereich $ [1,\infty)$, deshalb existiert die Umkehrfunktion $ \operatorname{arcosh}$ auf $ [1,\infty)$ mit dem Wertebereich $ \mathbb{R}^+_0$.

Die Funktion $ \sinh$ ist auf gesamt $ \mathbb{R}$ streng monoton und stetig mit dem Wertebereich $ \mathbb{R}$, deshalb existiert die Umkehrfunktion $ \operatorname{arsinh}$ ebenfalls auf gesamt $ \mathbb{R}$ mit dem Wertebereich $ \mathbb{R}$.

c)
Aufgabe 1424 hat gezeigt

$\displaystyle (\cosh(y))^2-(\sinh(y))^2=1 $

also auch

$\displaystyle (\sinh(y))^2=(\cosh(y))^2-1 $

für alle $ y\in\mathbb{R}$. Ist nun $ y\in\mathbb{R}^+_0$, so folgt $ \sinh(y)\in\mathbb{R}^+_0$, also erhält man in diesen Fällen

$\displaystyle \sinh(y)=\sqrt{(\cosh(y))^2-1}\,$.

Mit der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion liefert dies

$\displaystyle \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arcosh}(x)\right\vert _{x=x_0}$ $\displaystyle =\frac{1}{\left.\frac{ d }{ d y}\cosh(y) \right\vert _{y=\operato... ...sh(x_0)}}} =\frac{1}{\left.\sinh(y)\right\vert _{y=\operatorname{arcosh(x_0)}}}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{\left.\sqrt{(\cosh(y))^2-1}\right\vert _{y=\operatorname{arcosh(x_0)}}} =\frac{1}{\sqrt{x_0^2-1}}\,$.    

Da $ \cosh(y)\in\mathbb{R}^+_0$ für alle $ y\in\mathbb{R}$ ergibt sich aus obigem Additionstheorem

$\displaystyle \cosh(y)=\sqrt{(\sinh(y))^2+1}\,$.

Wieder liefert die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion

$\displaystyle \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arsinh}(x)\right\vert _{x=x_0}$ $\displaystyle =\frac{1}{\left.\frac{ d }{ d y}\sinh(y) \right\vert _{y=\operato... ...nh(x_0)}}} =\frac{1}{\left.\cosh(y)\right\vert _{y=\operatorname{arsinh(x_0)}}}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{\left.\sqrt{(\sinh(y))^2+1}\right\vert _{y=\operatorname{arsinh(x_0)}}} =\frac{1}{\sqrt{x_0^2+1}}\,$.    

d)
Für $ y\in[1,\infty)$ erhält man aus

$\displaystyle y=\cosh(x)=\frac{e^x+1/e^x}{2} $

durch die Substitution $ \tilde{x}=e^x$ und nach Multiplikation mit $ \tilde{x}$

$\displaystyle \tilde{x}y=\frac{\tilde{x}^2+1}{2}$   bzw.$\displaystyle \quad \frac{1}{2}\tilde{x}^2-y\tilde{x}+\frac{1}{2}=0 $

Letztere Gleichung lässt sich mit der Mitternachtsformel lösen. Es ergeben sich Lösungen

$\displaystyle \tilde{x}=\frac{y+\sqrt{y^2-1}}{1}$   oder$\displaystyle \quad\tilde{x}=\frac{y-\sqrt{y^2-1}}{1} $

Anhand des Schaubilds erkennt man, dass nur die erste Lösung im Betracht kommt und somit ist

$\displaystyle x=\operatorname{arcosh}(y)=\ln(\tilde{x})=\ln\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\,$.

Entsprechend erhält man für beliebige $ y\in\mathbb{R}$ aus

$\displaystyle y=\sinh(x)=\frac{e^x-1/e^x}{2} $

durch die Substitution $ \tilde{x}=e^x$ und nach Multiplikation mit $ \tilde{x}$

$\displaystyle \tilde{x}y=\frac{\tilde{x}^2-1}{2}$   bzw.$\displaystyle \quad \frac{1}{2}\tilde{x}^2-y\tilde{x}-\frac{1}{2}=0\,$.

Wieder erhält man Lösungen

$\displaystyle \tilde{x}=\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{1}$   oder$\displaystyle \quad\tilde{x}=\frac{y-\sqrt{y^2+1}}{1}\,$.

Wie oben erkennt man anhand des Schaubilds, dass nur die erste Lösung zu berücksichtigen ist, und somit ergibt sich

$\displaystyle x=\operatorname{arsinh}(y)=\ln(\tilde{x})=\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\,. $

e)
Man erhält

$\displaystyle \left.\frac{ d }{ d x}\cosh(x)\right\vert _{x=x_0} =\left.\frac{ ... ...{1+\frac{2x_0}{2\sqrt{x_0^2-1}}}{x_0+\sqrt{x_0^2-1}} =\frac{1}{\sqrt{x_0^2-1}} $

und

$\displaystyle \left.\frac{ d }{ d x}\sinh(x)\right\vert _{x=x_0} =\left.\frac{ ... ...\frac{2x_0}{2\sqrt{x_0^2+1}}}{x_0+\sqrt{x_0^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{x_0^2+1}}\,. $

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 28.  8. 2006