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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1397: Differentialgleichung mit Potenzreihenansatz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die Funktionen $ f$ und $ g$ sind durch ihre Potenzreihen

$\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k x^k$   und$\displaystyle \quad g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_k x^k $

gegeben.

Bestimmen Sie die Koeffizienten $ a_k$ und $ b_k$ so, dass die Differentialgleichungen $ f''=-f$ und $ g''=-g$ mit den Anfangsbedingungen

$\displaystyle f(0)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle f'(0)$ $\displaystyle =1$    
$\displaystyle g(0)$ $\displaystyle =1$ $\displaystyle g'(0)$ $\displaystyle =0$    

erfüllt werden.

Wie heißen die Funktionen $ f$ und $ g$?

Nach gliedweiser Differentiation erhält man

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^\infty k\,a_k x^{k-1}$ $\displaystyle g'(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^\infty k\,b_k x^{k-1}$    

sowie


$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=2}^\infty k(k-1)\,a_k x^{k-2}$ $\displaystyle g''(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=2}^\infty k(k-1)\,b_k x^{k-2}$    
  $\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)\,a_{k+2}x^k$   $\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)\,b_{k+2}x^k\,.$    

Aus den Differentialgleichungen ergibt sich

$\displaystyle f(x)+f''(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^\infty \left(a_k+(k+2)(k+1)a_{k+2}\right)x^k=0$    

und


$\displaystyle g(x)+g''(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^\infty \left(b_k+(k+2)(k+1)b_{k+2}\right)x^k=0$    

und damit die Rekursionsgleichungen

$\displaystyle a_{k+2}$ $\displaystyle =-\frac{a_k}{(k+1)(k+2)}$ $\displaystyle b_{k+2}$ $\displaystyle =-\frac{b_k}{(k+1)(k+2)}$    

für $ k\in\mathbb{N}_0$. Mit den Anfangsbedingungen


$\displaystyle f(0)$ $\displaystyle =a_0=0$ $\displaystyle g(0)$ $\displaystyle =b_0=1$    

folgt


$\displaystyle f'(0)$ $\displaystyle =a_1=1$ $\displaystyle g'(0)$ $\displaystyle =b_1=0a_{2k}$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle b_{2k}$ $\displaystyle =\frac{(-1)^k}{(2k)!}$    

für $ k\in\mathbb{N}_0$, d. h.


$\displaystyle a_{2k+1}$ $\displaystyle =\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}$ $\displaystyle b_{2k+1}$ $\displaystyle =0f(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}=\sin(x)$ $\displaystyle g(x)$ $\displaystyle =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=\cos(x)\,,$    

wobei die Potenzreihen jeweils auf gesamt $ \mathbb{R}$ konvergieren.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006