Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sind $ f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto e^{x^2-2x}$ und $ g\colon\left[-\frac{1}{2},1\right]\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto e^x\ln(1+x)$.

Bestimmen Sie $ T_3(f,x,0)$ und $ T_3(g,x,0)$.

Hinweis: Führen Sie das Problem auf bekannte Taylor- beziehungsweise Potenzreihen zurück.

Aus der Taylorreihe

$\displaystyle e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x²}{2}+\frac{x³}{6}+\dots $

erhält man durch die Substitution $ x\to x²-2x$

$\displaystyle e^{x²-2x}=1+x²-2x+\frac{x^4-4x³+4x²}{2}+\frac{x^6-6x^5+12x^4-8x³}{6}+\dots $

und damit

$\displaystyle T_3(f,x,0)=1-2x+3x²-\frac{10}{3}x³\,. $

Mit der Taylorreihe

$\displaystyle \ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k} =x-\frac{x²}{2}+\frac{x³}{3}\mp\dots $

ergibt sich durch Multiplikation

$\displaystyle e^x\ln(1+x)=x-\frac{x²}{2}+x²+\frac{x³}{3}-\frac{x³}{2}+\frac{x³}{2}+\dots $

und damit

$\displaystyle T_3(g,x,0)=x+\frac{x²}{2}+\frac{x³}{3}\,. $

(Ackermann/Poppitz)
  automatisch erstellt am 24. 10. 2007