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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1408: Konvergenzbeweis durch Integralvergleich

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Zeigen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, dass die folgende Reihe für alle $ \alpha\in\mathbb{R}$ mit $ \alpha<-1$ konvergiert (vgl. Aufgabe 1400 c)):

$\displaystyle \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\big(\ln(k)\big)^{\alpha}}{k}\,$.

Es sei

$\displaystyle f\colon [2,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto\frac{\big(\ln(x)\big)^\alpha}{x}\,$.

Damit ergibt sich

$\displaystyle f'(x)= =\frac{\big(\ln(x)\big)^{\alpha-1}\big(\alpha-\ln(x)\big)}{x^2}\,$.

Da $ \alpha<-1$ vorausgesetzt ist, gilt $ f'(x)<0$, das heißt die Funktion $ f$ ist (streng) monoton fallend. Außerdem ist $ f$ positiv. Daher haben nach dem Integralkriterium die Reihe

$\displaystyle \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\big(\ln(k)\big)^\alpha}{k} $

und das Integral

$\displaystyle \int\limits_2^{+\infty} \frac{\big(\ln(x)\big)^\alpha}{x}\,\operatorname{d}x $

das gleiche Konvergenzverhalten. Analog zu Aufgabe 1400 (c) erhält man für $ \alpha<-1$ eine Stammfunktion von $ f$. Damit ergibt sich die Konvergenz des folgenden Integrals:

$\displaystyle \int\limits_2^{+\infty} \frac{\big(\ln(x)\big)^\alpha}{x} =\lim\l... ...alpha+1}}{\alpha+1}\right]_2^t =-\frac{\big(\ln(2)\big)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\,$;

folglich konvergiert auch die Reihe

$\displaystyle \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\big(\ln(k)\big)^\alpha}{k} $.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 28.  8. 2006