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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1409: Differenzierbarkeit einer Funktion in 2 Veränderlichen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=x^3y-xy^3-xy\,. $

a)
Skizzieren Sie die Mengen:

$\displaystyle G_0:$ $\displaystyle \quad f(x,y)=0$    
$\displaystyle G_+:$ $\displaystyle \quad f(x,y)>0$    
$\displaystyle G_-:$ $\displaystyle \quad f(x,y)<0$    

b)
Untersuchen Sie $ f$ auf Differenzierbarkeit.
c)
Bestimmen Sie in den Punkten $ P_0=(2,0)$ , $ P_1=(1,0)$ und $ P_2=(0,1)$ jeweils die Ableitung von $ f$ in Richtung der Vektoren $ v_1=(1,0)$ , $ v_2=(0,1)$ und $ v_3=(1,1)$ .
a)
Es ist $ p(x,y)=x^3y-xy^3-xy=x\cdot y\cdot (x^2-y^2-1)$. Damit ist $ p(x,y)=0$ genau dann, wenn $ x=0$ oder $ y=0$ oder $ x^2-y^2-1=0$. In der Koordinatenebene skizziert entsprechen die ersten beiden Fälle horizontalen beziehungsweise vertikalen Geraden. Der letzte Fall beschreibt eine Quadrik, die bereits in Normalform angegeben ist: Es handelt sich um eine Hyperbel. Also:

$\displaystyle G_0= \left\{\smash{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\left\vert% \vphantom{\sm... ...athbb{R}^2}}\vphantom{\smash{x^2-y^2-1=0}}\right.\,\smash{x^2-y^2-1=0}\right\} $

Die Menge $ G_0$ unterteilt $ \mathbb{R}^2$ in einzelne Gebiete. Da $ p$ stetig ist, reicht es anhand eines einzelnen Funktionswertes im Inneren des jeweiligen Gebietes zu entscheiden, ob das Gebiet zu $ G_-$ oder zu $ G_+$ gehört.

\includegraphics[width=15cm]{H26gebiete}

b)
Da $ p$ eine Polynomfunktion ist, sind auch alle partiellen Ableitungen von $ p$ Polynomfunktionen. Diese sind nach Lemma 10.2.10 aus der Vorlesung auf ganz $ \mathbb{R}^2$ stetig. Nach Definition ist $ p$ also beliebig oft stetig partiell differenzierbar. Nach Satz 10.4.4 aus der Vorlesung ist damit $ p$ in jedem Punkt total differenzierbar.
c)
Die Ableitung von $ p$ im Punkt $ (x_0,y_0)$ längs $ v$ ist gegeben durch:

$\displaystyle \partial_v p(x_0,y_0)=\big\langle\operatorname{grad} p(x_0,y_0),v\big\rangle\,$.

Der Gradient ist:

$\displaystyle \operatorname{grad} p(x_0,y_0)= \left(\begin{matrix} 3x^2y-y^3-y\\ x^3-3xy^2-x \end{matrix}\right)\,$.

Also:

$ \operatorname{grad} p(P_0)= \left(\begin{matrix} 0\\ 6 \end{matrix}\right) $ $ \operatorname{grad} p(P_1)= \left(\begin{matrix} 0\\ 0 \end{matrix}\right) $ $ \operatorname{grad} p(P_2)= \left(\begin{matrix} -2\\ 0 \end{matrix}\right) $


Damit lassen sich die Ableitungen von $ p$ längs $ v_1$, $ v_2$, $ v_3$ bestimmen:

$\displaystyle \partial_{v_1} p(P_0)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle \partial_{v_2} p(P_0)$ $\displaystyle =6$ $\displaystyle \partial_{v_3} p(P_0)$ $\displaystyle =6$    
$\displaystyle \partial_{v_1} p(P_1)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle \partial_{v_2} p(P_1)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle \partial_{v_3} p(P_1)$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \partial_{v_1} p(P_2)$ $\displaystyle =-2$ $\displaystyle \partial_{v_2} p(P_2)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle \partial_{v_3} p(P_2)$ $\displaystyle =-2$    

Da $ \left\vert v_1\right\vert=1$ und $ \left\vert v_2\right\vert=1$ sind die Ableitungen von $ p$ längs $ v_1$ und längs $ v_2$ bereits Richtungsableitungen. Die zu $ v_3$ gehörige Richtung $ w$ wird bestimmt durch:

$\displaystyle w=\frac{v_3}{\left\vert v_3\right\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 1\\ 1 \end{matrix}\right)\,$.

Damit ist die Richtungsableitung von $ p$ in Richtung $ w$ zu berechnen via

$\displaystyle \partial_{w} p(x_0,y_0)=\big\langle\operatorname{grad} p(x_0,y_0)... ...t\vert v_3\right\vert}\big\langle\operatorname{grad} p(x_0,y_0),v_3\big\rangle $

und es ergibt sich damit:

$\displaystyle \partial_{w} p(P_0)$ $\displaystyle =3\sqrt{2}$ $\displaystyle \partial_{w} p(P_1)$ $\displaystyle =0$ $\displaystyle \partial_{w} p(P_2)$ $\displaystyle =-\sqrt{2}\,$.    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006