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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1412: Definitheit quadratischer Formen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es sind die folgenden Matrizen gegeben:

$ A=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 7&2&0\\ 2&6&2\\ 0&2&5 \end{matrix}\right)$ $ B=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 2&-2&-6\\ -2&-3&4\\ -6&4&1 \end{matrix}\right)$ $ C=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 4&0&-2\\ 0&2&2\\ -2&2&3 \end{matrix}\right)$

Untersuchen Sie die zugehörigen quadratischen Formen $ q_A$, $ q_B$ und $ q_C$ auf Definitheit.

Die Matrix $ A$ besitzt die Eigenwerte $ 1$, $ 2$ und $ 3$. Sie ist also positiv definit.

Die Matrix $ B$ besitzt die Eigenwerte $ -1$, $ -2$ und $ 3$. Sie ist also indefinit.

Die Matrix $ C$ besitzt die Eigenwerte $ 1$, $ 2$ und 0. Sie ist also weder positiv definit noch negativ definit noch indefinit.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006