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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1413: Schmiegquadrik an den Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=\sin(x+y) $

den Gradienten, die Hesse-Matrix und die Schmiegquadrik in den Punkten $ (0,0)$ und $ \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)$ .
a)
Man berechnet

$\displaystyle \operatorname{grad}f=\left(\cos(x+y),\cos(x+y)\right)^{\operatorname t} $

und

\begin{displaymath} \mathrm{H}f=\left( \begin{array}{cc} -\sin(x+y)&-\sin(x+y)\\ -\sin(x+y)&-\sin(x+y) \end{array}\right)\,\text{.} \end{displaymath}

b)
Damit erhält man das Taylorpolynom zweiter Stufe

$\displaystyle T_2\big(f,(x,y),(0,0)\big)$ $\displaystyle =x+y$    

und


$\displaystyle T_2\left(f,(x,y),\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\right)$ $\displaystyle =1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2 -\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\left(y-\frac{\pi}{4}\right) -\frac{1}{2}\left(y-\frac{\pi}{4}\right)^2\,$.    

Im Punkt $ (0,0)$ erhält man die Schmiegquadrik

$\displaystyle z=x+y $

also eine Ebene.

Im Punkt $ \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ erhält man die Schmiegquadrik

$\displaystyle z=1-\frac{1}{2}\left(x+y-\frac{\pi}{2}\right)^2\,$.

Dies ist einen parabolischen Zylinder.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006