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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1417: Ableitungen verketteter Funktionen mehrerer Veränderlicher

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Es sei $ f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und

\begin{displaymath} g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n\colon t\mapsto tv=\left( \begin{array}{c} tv_1 \\ \vdots\\ tv_n \end{array}\right) \end{displaymath}

mit $ v\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$.
a)
Berechnen Sie $ \left.\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}f(g(t))\right\vert _{t=0}$.
b)
Vergleichen Sie das Ergebnis mit $ \partial_v f(0)$, d. h. der Ableitung von $ f$ längs $ v$ im Punkt 0.
a)
Mit der Kettenregel ergibt sich

\begin{displaymath} \left.\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}f(g(t))\righ... ...in{array}{c} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{array}\right)\,\text{.} \end{displaymath}

b)
Obiges läßt sich auch als

$\displaystyle \operatorname{grad}f(0)\bullet v $

schreiben, was mit der Ableitung $ \partial_v f(0)$ von $ f$ längs $ v$ im Punkt 0 übereinstimmt.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006