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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1458: Kurvenintegral entlang eines Vektorfeldes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist das Vektorfeld

$\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.7} f\colon\mathbb{R}^+\times\math... ...e\alpha \frac{z}{x}\\ \displaystyle\frac{z}{y}\\ \ln(xy) \end{matrix}\right) $

mit $ \alpha\in\mathbb{R}$.
a)
Berechnen Sie $ \operatorname{rot}f$ und $ \operatorname{div}f$.
b)
Bestimmen Sie, für welche Werte von $ \alpha$ die Funktion $ f$ ein Potential besitzt und berechnen Sie dieses.
c)
Berechnen Sie jeweils für $ \alpha=0$ und $ \alpha=1$ das Kurvenintegral von $ f$ längs $ K$, wobei $ K$ die Parametrisierung

\begin{displaymath} C\colon[-1,1]\to K\colon t\mapsto \left( \begin{array}{c} e^{\left(t^2\right)}\\ 1 \\ \sin(\pi t) \end{array}\right) \end{displaymath}

besitzt.
a)
Man berechnet

$\displaystyle \operatorname{rot}f$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} 0\\ \frac{\alpha-1}{x}\\ 0 \end{array}\right)$    

und


$\displaystyle \operatorname{div}f=-\frac{\alpha z}{x^2}-\frac{z}{y^2}\,$.    

b)
Nur für $ \alpha=1$ ist $ \operatorname{rot}f=0$. Für diesen Fall erhält man

$\displaystyle U:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}:(x,y,z)\mapsto z\ln(xy) $

als ein Potential von $ f$.
c)
Da $ C$ eine reguläre und - bis auf den Anfangs- bzw. Endpunkt - doppelpunktfreie Parametrisierung ist, erhält man für $ \alpha=0$ für das Kurvenintegral von $ f$ längs $ K$

$\displaystyle \int\limits_K f(x)\operatorname{d}x$ $\displaystyle =\int\limits_{-1}^1 f(C(t))\bullet C'(t)\operatorname{d}t =\int\l... ...2te^{\left(t^2\right)}\\ 0\\ \pi\cos(\pi t) \end{array}\right)\operatorname{d}t$    
  $\displaystyle =\int\limits_{-1}^1\pi t^2\cos(\pi t)\operatorname{d}t =\underbra... ...\pi t)\right]_{t=-1}^1}_{=0}- \int\limits_{-1}^1 2t\sin(\pi t)\operatorname{d}t$    
  $\displaystyle =\left[\frac{2}{\pi}\,t\cos(\pi t)\right]_{t=-1}^1 - \int\limits_... ...rbrace{\left[\frac{2}{\pi^2}\sin(\pi t)\right]_{t=-1}^1}_{=0} =-\frac{4}{\pi}\,$.    

Für $ \alpha=1$ besitzt $ f$ ein Potential, und da $ K$ eine geschlossene Kurve ist, ergibt sich für das Kurvenintegral von $ f$ längs $ K$

$\displaystyle \int\limits_K f(x)\operatorname{d}x=0\,$.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006