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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1461: Extremwertaufgabe.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie drei positive Zahlen $ a,b,c$, deren Summe gleich 90 und deren Quadratsumme minimal ist. Begründen Sie, warum Ihre Lösung ein Minimum ist!

$\displaystyle a^2+b^2+c^2+\lambda(a+b+c-90) $


$\displaystyle 2a+\lambda$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle 2b+\lambda$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle 2c+\lambda$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle a+b+c-90$ $\displaystyle =$ 0  

$\displaystyle a=b=c=30\,,\quad \lambda=-60 $

Wert=1800

Hesse:

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0& 2 & 0 \\ 0 & 0 &2 \end{array}\right) $

also Min.
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006