Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1462: Lagrangesche Multiplikatormethode.

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1462: Lagrangesche Multiplikatormethode.

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Bestimmen Sie alle Punkte des $\mathbb{R}^3$ mit lokal kleinstem Abstand von dem Punkt

unter der Nebenbedingung

$\displaystyle x^2-y^2- z=0$

Benutzen Sie hierzu die Lagrangesche Multiplikatormethode und bestimmen Sie den Typ aller auftretenden Extremwerte.

$\displaystyle H=x^2+y^2+(z-1)^2+\lambda(x^2-y^2- z)$

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} 2x +2\lambda x &=&0\\ 2y -2\lambda y &=&0\\ 2(z-1) -\lambda &=&0\\ x^2-y^2- z &=&0\\ \end{array}\end{displaymath}$

$\lambda=2 (z-1)$

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} x \left(1+2 (z-1)\right) &=&0\\ y \left(1-2 (z-1)\right) &=&0\\ \end{array}\end{displaymath}$

$x=0\lor z=\frac 12$ und $y=0\lor z=\frac 32$ .

Hesse

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}{ccc} 2+2\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-2\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array}\right) \end{displaymath}$

, $\lambda=-2$ , $\nabla g= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2\\ \end{pmatrix}$ Sattelpunkt
$x=0,z=\frac 32$ , $\lambda=1$ , scheidet aus, da keine Lösung von $y^2=-\frac 32$ existiert.
$y=0,z=\frac 12$ , $\lambda=-1$ , $x=\pm \sqrt{\frac 12}$ , $\nabla g= \begin{pmatrix} \pm \sqrt{2} \\ 0 \\ - 1\\ \end{pmatrix}$ Basis vom Orthogonalraum

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,, \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \pm \sqrt{2} \end{pmatrix}$
Hesse bzgl. dieser Matrix

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} 4 & 0\\ 0 & 4\\ \end{array}\right)$
also Minimum!

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

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automatisch erstellt am 13. 10. 2006