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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1463: Lagrangeschen Multiplikatormethode.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie Maxima und Minima der Funktion

$\displaystyle \sin \frac x2\sin \frac y2\sin \frac z2$$\displaystyle \text { auf der Menge } \{ (x,y,z)\in \R^3: x+y+z=\pi,x\geq0,y\geq 0,z\geq 0\} $

mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatormethode.
Die Funktionswerte liegen auf dem Definitionsbereich offensichtlich zwischen 0 und $ 1$


$\displaystyle \cos \frac x2\sin \frac y2\sin \frac z2 + 2\lambda$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \sin \frac x2\cos \frac y2\sin \frac z2 + 2\lambda$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \sin \frac x2\sin \frac y2\cos \frac z2 + 2\lambda$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle x+y+z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi$  

Fall 1, $ \lambda\neq 0$.(Alle $ \sin,\cos$ Terme ungleich Null)
$\displaystyle \tan \frac y2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan \frac x2$ (1)
$\displaystyle \tan \frac z2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan \frac x2$ (2)
$\displaystyle x+y+z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi$ (3)

Es gilt also $ x=y=z=\pi/3$.

$\displaystyle \cos \frac\pi3 = \frac 12\,, \sin \frac\pi3 = \frac {\sqrt{3}}2 $

Hesse Matrix:

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} -\sin \frac x2\sin \frac y2\sin \frac z2... ...rt{3}}8 \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1\\ 1 & -3 & 1\\ 1 & 1 & -3\\ \end{pmatrix}$

Eigenwerte $ \lambda_{1,2}=-4$, $ \lambda_3=-1$. Also ein Maximum.

Fall2, $ \lambda= 0$. Wegen der Nebenbedingung muss hier $ x=\pi$ und $ y=z=0$ (+ Permutationen der Variablen) gelten. Es handelt sich dabei wegen $ f(x,y,z)=0$ um absolute Minima.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006