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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1464: Extremwertaufgabe einer Funktion.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es seien zwei Punkte $ \boldsymbol a$ und $ \boldsymbol b$ gegeben mit

$\displaystyle \boldsymbol a \in \{ \boldsymbol x\in \mathbb{R}^3\vert x^2+2y^2 ... ...^2 =1\}\,, \boldsymbol b \in \{ \boldsymbol x\in \mathbb{R}^3\vert x+y+z =3\} $

Bestimmen Sie die Paare $ (\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ mit extremalem Abstand und den Typ des Extremums. Können Sie das Ergebnis geometrisch deuten?

  1. $\displaystyle x_1=x\,, x_2=\frac {\sqrt{2}}y\,, x_3= 2z $

    $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=1, 2x_1+\sqrt{2}x_2 + x_3=6 $

    Min für

    $\displaystyle (x_1,x_2,x_3)^\top = \frac{1}{\sqrt{7}} \begin{pmatrix} 2\\ \sqr... ...y,z)^\top= \frac{1}{\sqrt{7}} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ \frac{1}2 \end{pmatrix}$

    Sattel für

    $\displaystyle (x_1,x_2,x_3)^\top = -\frac{1}{\sqrt{7}} \begin{pmatrix} 2\\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

  2. $\displaystyle (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2+ \lambda(x_1^2+2y_1^2+4z_1^2-1) +\mu(x_2+y_2+z_2-3) $


    $\displaystyle 2(x_1-x_2) +2\lambda x_1$ $\displaystyle =$ 0  
    $\displaystyle 2(y_1-y_2) +4\lambda y_1$ $\displaystyle =$ 0  
    $\displaystyle 2(z_1-z_2) +8\lambda z_1$ $\displaystyle =$ 0  
    $\displaystyle -2(x_1-x_2) +\mu$ $\displaystyle =$ 0  
    $\displaystyle -2(y_1-y_2) +\mu$ $\displaystyle =$ 0  
    $\displaystyle -2(z_1-z_2) +\mu$ $\displaystyle =$ 0  

    $ \lambda\neq0$, da sonst beide Punkte gleich, aber es gibt keinen Schnittpunkt.

    $\displaystyle x_1=2y_1=4z_1 $

    $\displaystyle z_1^2 (16+ 8 +4) = 1 \Rightarrow z_1=\pm \frac1{2\sqrt{7}} $

    $\displaystyle \mu= -2(x_1+y_1+z_1) +6 +3\mu=0 \Rightarrow \mu= frac23 7 z_1 -2 = (-1.1181, -2.8819) $

    $\displaystyle \lambda= -\mu \frac1{8z_1} = (.739542, -1.90621) $

    Hesse1

    $\displaystyle \begin{pmatrix} 2+2\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2+4\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2+8\lambda \\ \end{pmatrix}$

    Hesse2

    $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006