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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1465: stetig, total differenzierbar, injektiv, Jakobi-Matrix.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei

$\displaystyle \vec{f}: D\subseteq {\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}^2, \vec{f}(x,y) = \begin{pmatrix} \sin x \cosh y \\ \cos x \sinh y \end{pmatrix}$

mit

$\displaystyle D:= \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \vert 0<x<\pi/2\} $

gegeben. Zeigen Sie
  1. $ f$ ist stetig
  2. $ f$ ist total differenzierbar
  3. $ f$ ist injektiv
und bestimmen Sie die Jakobi-Matrix $ \nabla\vec{f}$.
Injektivität:

$ \cosh y,\sinh y,\sin x $ sind streng monoton steigend in $ D$, während $ \cos x$ streng monoton fällt. Annahme wir hätten eine Lösung von

$\displaystyle \sin x_1\cosh y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x_2 \cosh y_2$ (1)
$\displaystyle \cos x_1\sinh y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x_2 \sinh y_2$ (2)

mit $ x_1>x_2$, hieraus folgt aber aus der ersten Gleichung $ y_1<y_2$ und aus der zweiten $ y_1>y_2$, ein Widerspruch. Analog für $ x_2>x_1$. Ist also $ x_1=x_2$, so folgt auch unmittelbar $ y_1=y_2$.

Jakobi-Matrix

$\displaystyle \begin{pmatrix} \cos x \cosh y & \sin x \sinh y\\ -\sin x \sinh y & \cos x \cosh y\\ \end{pmatrix}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006