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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1468: Jacobi-Matrix.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle \vec{f}(x,y)=\left(\begin{array}{c}u \\ v\end{array}\right)= \lef... ...y}{c} \operatorname{e}^{\,x+y}\\ \operatorname{e}^{\,x-y} \end{array}\right). $

a)
Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix $ \nabla\vec{f}(x,y)$ sowie deren Determinante.
b)
Bestimmen Sie $ \vec{f}^{-1}(u,v)$ und $ \nabla(\vec{f}^{-1})(u,v)$.
c)
Überprüfen Sie, dass $ \nabla\vec{f}(x,y)\,\nabla(\vec{f}^{-1})(u,v)=E_2$.

$\displaystyle \nabla\vec{f} = \begin{pmatrix} \e^{x+y} & \e^{x+y}\\ \e^{x-y} & - \e^{x-y} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \vec{f}^{-1}(u,v)= \frac12 \begin{pmatrix} \ln u + \ln v\\ \ln u... ...)= \frac 12 \begin{pmatrix} u^{-1} & v^{-1} \\ u^{-1} & -v^{-1} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \frac12 \begin{pmatrix} \e^{x+y} & \e^{x+y}\\ \e^{x-y} & - \e^{x... ... \e^{-x+y} \end{pmatrix}= \frac12 \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006