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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1469: Determinante der Jacobimatrix.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion $ \vec{f}(x,y)=(u,v)=({e}^x \cos y, {e}^x \sin y) $.
a)
Bestimmen Sie die Jacobimatrix $ \nabla\vec{f}(x,y)$ sowie deren Determinante. Ist $ \vec{f}$ invertierbar?
b)
Bestimmen Sie $ \vec{f}^{-1}(u,v)$ in einer Umgebung der Punkte $ (x,y)=(0,0)$ und $ (u,v)=(1,0)$.
c)
Bestimmen Sie $ \nabla(\vec{f}^{-1})(u,v)$ und überprüfen Sie, daß $ \nabla\vec{f}(x,y)\,\nabla(\vec{f}^{-1})(u,v)=E_2$.

$\displaystyle \nabla\vec{f}= \begin{pmatrix} \e^x\cos y & -\e^x\sin y\\ \e^x\sin y & \e^x\cos y \end{pmatrix}$

Nicht invertierbar, da $ f(x,y)=f(x,y+2k\pi)$. Lokale inverse

$\displaystyle \vec{f}^{-1}(u,v)= \begin{pmatrix} \frac12 \ln (u^2+v^2)\\ \arctan \frac vu \end{pmatrix}$

$\displaystyle \nabla(\vec{f}^{-1})= \begin{pmatrix} \frac{u}{u^2+v^2} & \frac{v}{u^2+v^2} \\ -\frac{v}{u^2+v^2} & \frac{1}{u(1+v^2u^{-2})} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix} \e^x\cos y & -\e^x\sin y\\ \e^x\sin y & \e^x\cos... ... \frac{\cos y}{\e^x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{pmatrix}$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006