Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1470: Ableitungen der Funktionen auf zwei Arten.

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 1470: Ableitungen der Funktionen auf zwei Arten.

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Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

$\displaystyle F(x) = \int_0^\infty \textrm{e}^{-\frac yx}\, d y\,,\qquad G(x)=\int_0^x\sin(xy)\,d y$

auf zwei Arten:

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

automatisch erstellt am 17. 9. 2006

$\displaystyle F^{'}(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{y}{x^2}e^{-\frac{y}{x}} dy = \left[ -\frac{... ...rac{y}{x}} \right ]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \frac{1}{x}e^{-\frac{y}{x}} dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left [ - e^{-\frac{y}{x}} \right ]_0^{\infty} = 1$

$\displaystyle G^{'}(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{x} y\cdot\cos(xy) dy + \sin(x^2) = \sin(x^2) + \left[ \frac{y}{x}\sin(xy) \right ]_0^{x} - \int_0^{x} \frac{1}{x}\sin(xy) dy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\sin(x^2) + \left [ \frac{1}{x^2}\cos(xy) \right ]_0^{x}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\sin(x^2) + \frac{1}{x^2}\cos(x^2) - \frac{1}{x^2}$