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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1475: Richtungsfelder von Differentialgleichungen.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Skizzieren Sie die Richtungsfelder der folgenden Differentialgleichungen, berechnen Sie ihre Lösungen durch den Punkt $ (1,1)$ und skizzieren Sie diese Lösung.


a)      $ \displaystyle y'=4\,\frac{y}{x}$,         b)      $ \displaystyle y'=-4\,\frac{y}{x}$,         c)      $ \displaystyle y'=4\,\frac{x}{y}$,         d)      $ \displaystyle y'=-4\,\frac{x}{y}.$
  1. Für das Richtungsfeld der Differentialgleichung gilt:

    $\displaystyle y' = 4\frac{y}{x} $

    Dies ist eine separable Differentialgleichung. Wir erhalten sofort die Lösung $ y=0$ und berechnen

    $\displaystyle \int\frac1y \,\mathrm{d} y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\int \frac1{x} \,\mathrm{d} x$  
    $\displaystyle \log \vert y\vert = 4\log \vert x\vert +c$      
    $\displaystyle \Rightarrow \vert y(x)\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^c x^4$  

    bei $ x=0$ kann die Lösung stetig und differenzierbar das Vorzeichen und die Konstante $ c$ wechseln. Damit ergibt sich für die Anfangswerte $ (1,1)$ und alle $ k\in \mathbb{R}$ die Lösung:

    $\displaystyle y(x) = \begin{cases} x^4&0\leq x\\ kx^4&x\leq 0 \end{cases}$

  2. Für das Richtungsfeld der Differentialgleichung gilt:

    $\displaystyle y' = -4\frac{y}{x} $

    Dies ist eine separable Differentialgleichung. Wir erhalten sofort die Lösung $ y=0$ und berechnen

    $\displaystyle \int\frac1y \,\mathrm{d} y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -4\int \frac1{x} \,\mathrm{d} x$  
    $\displaystyle \log \vert y\vert = -4\log \vert x\vert +c$      
    $\displaystyle \Rightarrow \vert y(x)\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^c x^{-4}$  

    und da $ y(x)\neq 0$, gibt es hier nur die Lösungen

    $\displaystyle y(x) = \pm e^c x^{-4} \lor 0 \Rightarrow y(x) =k x^{-4}\,, \qquad k\in \mathbb{R} $

    Damit ergibt sich für die Anfangswerte $ (1,1)$:

    $\displaystyle y(x) = \frac{1}{x^4} $

  3. Für das Richtungsfeld der Differentialgleichung gilt:

    $\displaystyle y' = 4\frac{x}{y} $

    Variablentrennung ergibt:

    $\displaystyle \int_{y_0}^y\frac{1}{4}y dy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{x_0}^x x dx$  
    $\displaystyle \frac{1}{8}(y^2-y_0^2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}(x^2-x_0^2)$  
    $\displaystyle \Rightarrow y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pm\sqrt{4x^2 + A}$  

    mit $ A = y_0^2-4x_0^2$. Damit ergibt sich für die Anfangswerte $ (1,1)$:

    $\displaystyle y(x) = \pm\sqrt{4x^2-3} $

  4. Für das Richtungsfeld der Differentialgleichung gilt:

    $\displaystyle y' = -4\frac{x}{y} $

    Variablentrennung ergibt:

    $\displaystyle \int_{y_0}^y\frac{1}{4}y dy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{x_0}^x -x dx$  
    $\displaystyle \frac{1}{8}(y^2-y_0^2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-1}{2}(x^2-x_0^2)$  
    $\displaystyle \Rightarrow y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pm\sqrt{-4x^2 + A}$  

    mit $ A = y_0^2+4x_0^2$. Damit ergibt sich für die Anfangswerte $ (1,1)$:

    $\displaystyle y(x) = \pm\sqrt{-4x^2+5} $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 29. 10. 2006