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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1476: Allgemeine Lösung von Differentialgleichungen.

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Geben Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen an:
  1. $ x^2y' +y = 0$ mit $ x>0$,
  2. $ 2yy' = \e^x$,
  3. $ y' = x^2y^2$.

  1. $\displaystyle x^2y' + y = 0 $

    Wir erhalten sofort die Lösung $ y=0$ und mit Variablentrennung ergibt sich:
    $\displaystyle \int \frac{dy}{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int x^{-2} dx$  
    $\displaystyle \Rightarrow \ln\vert y\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{-1} + c$  

    Die allgemeine Lösung lautet also

    $\displaystyle y(x)= k \e^{1/x}\,, \qquad k\in \mathbb{R} $

  2. $\displaystyle 2yy'=e^x $

    Mit Variablentrennung ergibt sich:
    $\displaystyle \int2y dy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int e^x dx$  
    $\displaystyle \Rightarrow y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pm\sqrt{e^x+c}$  

  3. $\displaystyle y' = x^2y^2 $

    Wir erhalten sofort die Lösung $ y=0$ und mit Variablentrennung ergibt sich:
    $\displaystyle \int\frac{1}{y^2} dy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int x^2 dx$  
    $\displaystyle -\frac{1}{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{3}x^3+c$  
    $\displaystyle \Rightarrow y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{3}{x^3+3c}$  

    Die Menge der Lösungen ist also

    $\displaystyle \{-\frac{3}{x^3+3c} \vert c\in \mathbb{R}\} \cup \{0\} $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 29. 10. 2006