Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 1477: Differentialgleichungen und Anfangswertproblem.

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	Aufgabe 1477: Differentialgleichungen und Anfangswertproblem.

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Geben Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen an:

$\displaystyle y'x= y+x$ ,
$\displaystyle y'x+y'y= y$ ,
$\displaystyle xyy' = x^2+y^2$ ,

und das Anfangswertproblem

$\displaystyle y' = (x+y+5)^2,\quad y(0) = -5.$

$\displaystyle y'x = y + x \Leftrightarrow y' = \frac{y}{x} + 1$
Mit der Substitution $u=\frac{y}{x}$ ergibt sich:

$\displaystyle \frac{du}{dx}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u}{x} + \frac{1}{x} - \frac{u}{x} = \frac{1}{x}$

$\displaystyle \int_{u_0}^u du$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{x_0}^x\frac{1}{x} dx$

$\displaystyle u - u_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln\vert x\vert - \ln\vert x_0\vert$

$\displaystyle \Rightarrow y(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\ln\vert x\vert + Ax$
$\displaystyle y'=\frac y{x+y}$
Mit der Substitution $u=\frac{y}{x}$ ergibt sich:

$\displaystyle u'x + u = \frac u{1+u}\,,$ also $\displaystyle u'x = -\frac{u^2}{1+u}$
und es folgt

$\displaystyle \int \frac {1+u}{u^2}\,\mathrm{d} u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int \frac 1x \,\mathrm{d} x$

$\displaystyle -\frac 1u + \ln u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\ln x + c$

$\displaystyle -\frac xy + \ln y - \ln x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\ln x + c$

$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y(\ln y -c)$
$\displaystyle y'=\frac {x^2+y^2}{xy}$
Mit der Substitution $u=\frac{y}{x}$ ergibt sich:

$\displaystyle u'x + u = \frac{1+u^2}{u}$
und es folgt

$\displaystyle \int u\,\mathrm{d} u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \frac 1x \,\mathrm{d} x$

$\displaystyle \frac12 u^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln x + c$

$\displaystyle u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pm\sqrt{2\ln x + 2c}$
Wir substituieren und erhalten

$\displaystyle u'-1= y' = u^2$
Separation der Variablen liefert

$\displaystyle \int \frac 1 {u^2+1} \,\mathrm{d} u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \,\mathrm{d} x$

$\displaystyle \arctan u$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x + c$

$\displaystyle x+y+5$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan (x +c)$

$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -x - 5 + \tan ( x +c)$

Das Anfangswertproblem wird also durch

$\displaystyle y=-x-5+ \tan x$
gelöst.

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

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automatisch erstellt am 29. 10. 2006

$\displaystyle \frac{du}{dx}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{u}{x} + \frac{1}{x} - \frac{u}{x} = \frac{1}{x}$
$\displaystyle \int_{u_0}^u du$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{x_0}^x\frac{1}{x} dx$
$\displaystyle u - u_0$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \ln\vert x\vert - \ln\vert x_0\vert$
$\displaystyle \Rightarrow y(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x\ln\vert x\vert + Ax$

$\displaystyle \int \frac {1+u}{u^2}\,\mathrm{d} u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\int \frac 1x \,\mathrm{d} x$
$\displaystyle -\frac 1u + \ln u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\ln x + c$
$\displaystyle -\frac xy + \ln y - \ln x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\ln x + c$
$\displaystyle x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle y(\ln y -c)$

$\displaystyle \int u\,\mathrm{d} u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int \frac 1x \,\mathrm{d} x$
$\displaystyle \frac12 u^2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \ln x + c$
$\displaystyle u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \pm\sqrt{2\ln x + 2c}$

$\displaystyle \int \frac 1 {u^2+1} \,\mathrm{d} u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int \,\mathrm{d} x$
$\displaystyle \arctan u$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x + c$
$\displaystyle x+y+5$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \tan (x +c)$
$\displaystyle y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -x - 5 + \tan ( x +c)$