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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1478: Differentialgleichung "Pflanzenwachstum".

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Das Wachstum (= zeitliche Änderung der Höhe $ y$) einer Pflanze sei in jedem Augenblick direkt proportional ihrer Höhe $ y$ und umgekehrt proportional der dritten Potenz ihres Alters $ t$. Der Proportionalitätsfaktor sei $ K$.
  1. Stellen Sie die Differentialgleichung für die zu berechnende Höhe $ y=y(t)$auf.
  2. Lösen Sie die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung $ y(1)=5$.
  3. Welche Höhe erreicht die Pflanze für $ t\to\infty$?
  1. Die Differentialgleichung für die zu berechnende Höhe lautet:

    $\displaystyle y'(t) = K\cdot y(t)\cdot\frac{1}{t^3} $

  2. Mit Variablentrennung ergibt sich:
    $\displaystyle \int_{y_0}^y\frac{1}{y} dy$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{t_0}^t\frac{K}{t^3} dt$  
    $\displaystyle \ln \left\vert\frac{y}{y_0}\right\vert$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}K(t^{-2}-t_0^{-2})$  
    $\displaystyle \Rightarrow y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A\cdot e^{-\frac{1}{2}Kt^{-2}}$  

    mit $ A = y_0\cdot e^{\frac{1}{2}Kt_0^{-2}}$. Die Anfangswerte $ (1,5)$ ergeben dann die Lösung:

    $\displaystyle y(t) = 5e^{\frac{1}{2}K}\cdot e^{-\frac{1}{2}Kt^{-2}} $

  3. Für $ t\to\infty$ gilt:

    $\displaystyle y(t\to\infty) = 5e^{\frac{1}{2}K} $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 17.  9. 2006